10 fatti dal mondo bizzarro di matematica infinita

Alla fine del XIX secolo, il matematico tedesco Georg Cantor scoprì la matematica "transfinita" o la matematica oltre l'infinito. Con questo primo lavoro, siamo stati introdotti in un mondo in cui ci sono numeri più grandi di infinito e equazioni che non seguono le regole del buon senso dell'aritmetica. Basti dire che probabilmente non sono le cose che hai imparato al liceo.

Il lavoro di Cantor fu inizialmente controverso e fu attaccato in modo vistoso da alcune delle più importanti figure matematiche dei suoi tempi. Tuttavia, gradualmente è stato accettato come canone e ha contribuito a spianare la strada alla teoria degli insiemi, che a sua volta è un potenziale sottosaggio per tutta la matematica.

10 Infinity Plus Uno (o due, o infinito) è uguale a Infinity

Si scopre che questo adagio della vecchia infanzia ha qualcosa in esso. Data la natura dell'infinito, qualsiasi numero aggiunto a, sottratto da, moltiplicato per o diviso per uguaglia l'infinito. Questo è visto in un classico puzzle infinito noto come paradosso di hotel di Hilbert:

C'è un hotel che ha un numero infinito di stanze. Un viaggiatore stanco arriva e chiede una stanza, ma viene informato che tutte le stanze sono occupate. Come può l'hotel non avere più stanze, dal momento che ha stanze infinite? Cosa dovrebbe fare il viaggiatore?

La risposta è che il viaggiatore dovrebbe richiedere che la persona nella stanza uno si sposti nella stanza due, che la persona nella stanza due passi alla stanza tre, e così via ... e lei ne prendi una. L'infinito è infinitamente elastico e può essere ampliato o ridotto in qualsiasi modo per adattarsi a qualsiasi cosa abbia bisogno, sia che si tratti di un viaggiatore o di un googolplex (sì, è un numero reale) di viaggiatori.

9 Ci sono tanti numeri dispari (e altrettanti numeri che finiscono in 123 o 423) quanti sono i numeri

L'infinito è così malleabile perché, come l'hotel di Hilbert, qualsiasi serie di numeri infiniti può essere inserita in quella che viene definita una "corrispondenza uno-a-uno" con qualsiasi parte infinita di quella serie. Nei termini laico, ciò significa che se si prendono tutti i numeri interi positivi (0, 1, 2, 3, 4 ...) e tutti i numeri pari positivi (0, 2, 4, 6, 8 ...), ognuno dei numeri interi può essere abbinato con un numero pari. Quindi lo zero può essere abbinato a zero, uno può essere abbinato a due, due possono essere abbinati a quattro, e così via.

Poiché le due serie (o "serie") di numeri corrispondono per ogni numero, siamo giustificati nel dire che hanno la stessa dimensione. Chiamato il paradosso di Galileo dopo il suo famoso scopritore, questo esperimento mentale mostra che la dimensione dell'infinito non può essere cambiata usando gli strumenti grezzi della divisione aritmetica di base o l'aggiunta di numeri finiti. Per questo, hai bisogno di qualcosa di più sofisticato.

8 Alcuni infiniti sono più grandi degli altri

Il rovescio della corrispondenza uno a uno è che se c'è una serie infinita di numeri che hanno ancora dei numeri rimasti dopo essere stati abbinati a un'altra serie infinita, allora possiamo dire che la precedente serie di infiniti è in realtà più grande di l'infinito con cui è stato abbinato. Questo potrebbe sembrare impossibile, ma probabilmente puoi cogliere intuitivamente un caso in cui questo è vero: il numero infinito di numeri interi (0, 1, 2, 3 ...) è inferiore al numero infinito di numeri irrazionali. Se ti ricordi dalla matematica del liceo, i numeri irrazionali sono numeri come il pi che hanno una serie di decimali che durano all'infinito (3.1415 ...). Cantor ha mostrato che il numero infinito di numeri irrazionali è più grande del numero infinito di numeri interi usando un ingenuo ma semplice trucco (relativo alle prove matematiche più innovative).

Ha iniziato assumendo che i numeri irrazionali potevano essere abbinati a numeri interi e annotato una serie di numeri tra zero e uno. (Va bene, questi sono i miei numeri casuali da schiacciare la tastiera, ma ottieni il punto.) Ci sono un numero infinito di queste righe:

0,1435 ... abbinato a 0
0,7683 ... abbinato a 1
0,1982 ... abbinato a 2
0.9837 ... abbinato a 3

E così via. È quindi possibile creare un numero da questa serie prendendo la prima cifra nella prima riga, la seconda cifra nella seconda riga e così via; per i numeri sopra, questo sarebbe 0.1687 ...

Ora, potrebbe esserci un numero di 0.1687 ... da qualche parte in questa pila di numeri. Tuttavia, se ne aggiungi uno a ciascuna cifra, il numero diventa 0,2798 ... e questo numero non può essere nello stack, poiché per definizione è diverso da uno qualsiasi dei numeri nello stack di almeno una cifra. Pertanto, ci sono ancora numeri irrazionali rimasti dopo aver provato ad abbinarli con numeri interi normali. Pertanto, possiamo dire che il numero infinito di numeri irrazionali è maggiore del numero infinito di numeri interi.

Se pensi che sia pazzo, tieniti il ​​cappello ...

7 Ci sono infiniti livelli di infinito

Cantor ha anche dimostrato che, proprio come il numero di numeri interi infiniti si trova su un livello completamente diverso di infinito rispetto al numero di numeri irrazionali, c'è anche un tipo di infinito che è più grande del numero di numeri irrazionali, un livello di infinito sopra questo, un altro al di sopra di questo, e così via, attraverso (lo indovinate) infinito. Inoltre, qualsiasi livello di infinito aggiunto a un livello più alto di infinito si somma automaticamente al livello più alto di infinito nello stesso modo in cui l'infinito più uno è uguale a infinito.

Il Reader's Digest la versione del motivo per cui questo è il caso è che puoi prendere una serie infinita di numeri (ad esempio, 0, 1, 2, 3 ...) e quindi creare una serie infinita più grande prendendo il numero di tutte le diverse combinazioni possibili del numeri nella serie originale. In matematica, questo è chiamato un power set.Quindi, per i numeri interi, il set di potenza includerebbe non solo 1, 2, 3 ... ma anche ogni combinazione di numeri in quella serie infinita di numeri incluso 1 miliardo e 1, 2, 13, 2 milioni ... ecc. Una volta che hai hai creato il tuo primo set di alimentazione, non c'è motivo per cui non puoi creare un set di alimentazione del set di alimentazione o un set di alimentazione di un set di alimentazione di un set di alimentazione di un set di alimentazione ...

6 Tutto questo alla fine ha fatto impazzire Georg Cantor

Come puoi immaginare, soffermarti troppo su tutto questo può fare un numero sul tuo senso della realtà, ed è esattamente quello che è successo al suo scopritore. Cantor credeva che il "prossimo" livello di infinito dopo i numeri interi fosse il numero di numeri irrazionali; l'unico problema era che non poteva provarlo.

Questo famoso problema matematico, etichettato come ipotesi continuativa (alla fine ha appena iniziato a dire che Dio gli ha rivelato che l'ipotesi del continuo era vera), combinato con i feroci attacchi al suo lavoro, alla fine ha portato a un collasso psicologico, e ha trascorso il resto di i suoi giorni dentro e fuori dagli ospedali mentre cercava di dimostrare che Francis Bacon scrisse le opere di Shakespeare.

5 Il problema che ha fatto impazzire Cantor Insane è irrisolvibile

Alcune persone hanno cercato di fornire una base rigorosa per la matematica usando una serie di assiomi, o affermazioni che sono apparentemente così di buon senso da poter essere considerate attendibili senza alcuna spiegazione preliminare. (Ad esempio, uno non può essere uguale a 2. Perché? Perché!)

Negli anni '60, il matematico Paul Cohen ha dimostrato che l'ipotesi del continuo è irrisolvibile se si assume che gli assiomi più comunemente usati siano veri. Tuttavia, fino ad oggi, il lavoro matematico continua a essere fatto assumendo che gli assiomi sono veri e che l'ipotesi del continuo è falsa, così come l'ipotesi inversa che gli assiomi convenzionali siano veri e l'ipotesi del continuo. I matematici considerano le diverse assunzioni sull'ipotesi del continuo come appartenenti a diversi "universi matematici", poiché non possiamo dimostrare che l'uno o l'altro sia vero.

4 The Symbol For Infinity That Cantor Chose è una lettera ebraica

Come astronomi e biologi, i matematici che scoprono qualche nuovo concetto o valore importante ottengono almeno qualche input in quello che sarà il suo nome. Dato quel tipo di potere, penseresti che oggi ci sarebbero più personaggi Klingon nella matematica di alto livello, ma no. Come creativi come i matematici, quasi nessuno di loro vuole allontanarsi dai simboli molto convenzionali greci, motivo per cui diverse lettere greche possono significare tante cose diverse a seconda del ramo della matematica che si sta utilizzando-abbiamo semplicemente così tante più costanti matematiche e concetti rispetto alle lettere greche.

Mentre il suo background religioso è ancora dibattuto dagli storici, Cantor vide ciò che stava facendo come un modo per avvicinarsi al divino attraverso la matematica, così decise che i diversi livelli di infinito sarebbero stati simboleggiati dalla prima lettera dell'alfabeto ebraico: aleph. L'insieme di tutti i numeri interi sarebbe aleph-nulla, o aleph con un pedice zero. Il prossimo infinito più alto sarebbe aleph-one, che, come abbiamo detto, può o non può essere il numero di numeri irrazionali.

3 C'è un livello di infinito in cui Infinity Plus One non uguaglia Uno Plus Infinity

Oltre ai numeri di aleph, Cantor ha anche creato numeri omega. Il primo numero omega è definito come il numero più piccolo che è maggiore del numero di numeri interi, o il primo numero dopo l'aleph nulla. Per attingere nuovamente all'esempio di Hilbert's hotel, se il numero di stanze è zero, allora il primo numero di omega è una baracca fuori dall'hotel. Il prossimo numero omega dopo è semplicemente omega più uno. Ciò significa, tuttavia, che uno più omega è diverso da omega più uno, poiché quello nel primo sarebbe semplicemente assorbito da omega (poiché l'infinito è malleabile), mentre quello dopo omega rappresenta il passo successivo.

Sfortunatamente, comprendere una prova più tecnica di questo sostituisce le capacità dell'intelletto del tuo umile autore, ma l'ho letto in un libro, quindi deve essere vero.

2 Infinity Minus Infinity non uguale a zero

L'infinito meno l'infinito non è definito nello stesso modo in cui la divisione per zero non è definita.

Per dare un esempio del perché questo è, poiché infinito più uno è uguale a infinito ([infinito + 1] = [infinito]), se sottraiamo l'infinito da entrambi i lati, rimaniamo con 1 = 0. Analogamente, e per molti dei le stesse ragioni, l'infinito diviso per l'infinito non è uno ma è anche indefinito.

1 Questo in realtà ha applicazioni scientifiche nel mondo reale

Come molte altre aree in matematica, è stato scoperto che quello che era iniziato come un esperimento di pensiero puramente teorico aveva implicazioni nelle scienze dure. Ad esempio, alcune equazioni della meccanica quantistica sommano all'infinito; in pratica, i fisici modificano l'equazione per rendere fattibili i calcoli, ma non è chiaro se ciò sia giustificato, dato ciò che sappiamo della matematica transfinita.

In cosmologia, se l'universo è infinitamente grande, lo spazio è infinitamente divisibile, l'universo si espanderà per sempre, o se ci sono infiniti universi sono tutte domande aperte che attingono alla logica infinita. Alcuni ricercatori hanno persino trovato applicazioni del paradosso alberghiero di Hilbert in ottica sia quantistica che classica.