Le 10 cose sconosciute

Ci sono molte cose che non conosciamo; personalmente sono una vera e propria cornucopia di ignoranza. Ma c'è una differenza tra cose che non conosciamo e cose che non possono essere conosciute. Ad esempio, nessuno sa quando è nato Shakespeare (anche se sappiamo quando è stato battezzato). Tuttavia, non è impossibile che in futuro potremmo scoprirlo - si potrebbe trovare un documento perduto che menziona la sua nascita, quindi la vera data di nascita di Shakespeare non è inconoscibile, solo sconosciuta. Questo elenco contiene 10 cose che sono inconoscibili in linea di principio. Non solo sono sconosciuti ora, non possono mai essere conosciuti.

Molti di questi sono matematici; Ho cercato di renderlo il più tecnico possibile - a parte ogni altra cosa, non sono un matematico, quindi ho cercato di minimizzarlo abbastanza da poterlo capire.

10

Imposta e più set

Cosa inconoscibile: cosa c'è in un set di insiemi che non contengono se stessi?

Dobbiamo fare un po 'di matematica per molti di questi articoli! Questo è il primo della lista perché, in un certo senso, il concetto di "inconoscibile" inizia con questo paradosso scoperto da Bertrand Russell nel 1901.

Iniziamo con l'idea di un set. Un set è una raccolta di oggetti - ad esempio, potresti avere l'insieme di numeri pari positivi che contengono 2, 4, 6, 8 ... o l'insieme di numeri primi contenenti 2, 3, 5, 7, 11 ... così lontano bene.

Le serie possono contenere altri set? Sì, nessun problema - potresti avere un set di set che contiene altri set - e quell'insieme dovrebbe, ovviamente, contenere se stesso. In effetti, puoi dividere i set in due tipi: quelli che contengono se stessi e quelli che non li contengono.

Quindi, considera un set (S, per esempio) di set che non contengono se stessi. S contiene se stesso? Se lo fa, allora non dovrebbe essere nel set, ma se non lo fa, allora dovrebbe. Quindi S sta saltando continuamente dentro e fuori di sé.

Questo paradosso ha causato molta costernazione tra i matematici. Immagina qualcuno che dimostri che un numero potrebbe essere allo stesso tempo pari e dispari, allo stesso modo è preoccupante. I modi sono stati aggirati nel paradosso, essenzialmente ridefinendo la teoria degli insiemi.

9

Graham's Number

È stato detto che il problema con la percezione della gente dell'universo è che i nostri cervelli sono abituati a trattare solo con piccoli numeri, brevi distanze e brevi periodi di tempo. Il numero di Graham è abbastanza grande da far sì che il cervello della maggior parte delle persone inizi a scaldare; è davvero grande; per metterlo in contesto, diamo un'occhiata ad alcuni, i cosiddetti, grandi numeri:

La maggior parte delle persone ha sentito parlare di un googol - per la maggior parte degli scopi è un grande numero - 10 ^ 100 che è 1 seguito da 100 zeri.

Ci sono però numeri molto più grandi là fuori; un googolplex è 1 seguito da un googol zero e il matematico Stanley Skewes ha definito numeri molto più grandi di un googolplex.

Per mettere questi in contesto, il più piccolo di essi (il googol) è ancora molto più grande del numero di particelle nell'universo (circa 10 ^ 87).

Tuttavia, il numero di Graham mette fuori gioco questi "bambini piccoli" - è stato usato da Ronald Graham nel suo (per me) lavoro incomprensibile sugli ipermessi multi-dimensionali (è il limite superiore a una delle soluzioni). Basti dire che è molto più grande dei numeri di Skewes e infatti, l'universo non è abbastanza grande da contenere la versione stampata. Anche se ogni cifra fosse la dimensione di un elettrone. Neanche vicino.

La cosa veramente meravigliosa del numero di Graham è che è possibile calcolare le ultime cifre e sappiamo che termina con un 7.

8

Il più piccolo intero

Cosa non conoscibile: qual è il più piccolo numero intero positivo non definibile in meno di undici parole?

Questo è un problema nella filosofia della matematica. Solo per rendere le cose un po 'più chiare - un numero intero è un numero intero (1, 2, 3 ecc.) E per numeri interi più piccoli, è facile definirli in parole:

"Il quadrato di 2" = 4
"Uno più di 4" = 5

… e così via. Ora come esperimento mentale, pensate a quante undici frasi di parole ci sono - ovviamente ce ne sono molte; ma c'è solo un numero finito di parole (circa 750.000 in inglese) quindi c'è solo un numero finito di undici frasi di parole - ad un certo punto, si esaurirebbe e ci sarebbe un intero che non si poteva definire. Tranne che "il più piccolo numero intero positivo non definibile in meno di undici parole" contiene solo dieci parole, quindi è possibile definirlo in meno di undici parole.

Questo è chiamato il paradosso di Berry e, in effetti, è una sorta di "gioco di prestigio" con il linguaggio - ci stiamo muovendo sottilmente dal nominare i numeri per descriverli, ma ancora nessuno può inventare quel numero!

7

Software

Cosa inconoscibile: un programma per computer si fermerà mai?

Quando frequentavo le lezioni di Matematica Pura a scuola, era una lamentela comune che ciò che stavamo imparando era "inutile". Sfortunatamente, l'insegnante rispondeva semplicemente con "stai imparando questo perché è sul programma." Il suono di Turing Halting suona come un voto: una inutile, interamente accademica, perdita di tempo. Tranne che ha portato allo sviluppo di computer digitali.

Alan Turing era un matematico inglese e un bambino prodigio, in particolare in matematica. Il suo lavoro sulle macchine informatiche era inizialmente del tutto teorico; stava lavorando sull'idea di descrivere le affermazioni matematiche interamente in modo numerico, in modo che potessero essere elaborate da una macchina di calcolo teorica. Ha concepito il concetto di una macchina informatica generalista (ora chiamata Turing Machine) come un esperimento mentale - non immaginava che qualcuno lo costruisse effettivamente.

Ha ragionato che un programma per computer deve funzionare per sempre o fermarsi.Ha dimostrato che è impossibile determinare automaticamente che cosa succederà - so che potresti obiettare che potresti "eseguire il programma e vedere cosa succede" - ma supponendo che si fermi solo dopo 7 trilioni di anni?

Un po 'di più su Turing: la sua linea di ragionamento è particolarmente notevole perché lo fece nel 1936 - anni prima che il primo computer digitale fosse costruito. La seconda guerra mondiale è iniziata nel 1939 ma Turing aveva lavorato al code-break a Bletchley Park per un anno prima; cercando di decifrare il codice tedesco Enigma. Era chiaro che un approccio "manuale" era troppo lento e Turing specificò la prima macchina decodifica (chiamata Bombe), questo portò a Colossus - probabilmente il primo computer digitale programmabile che poteva scorrere automaticamente attraverso molte possibili "chiavi". Il suo lavoro era così importante per la decifrazione che molto rimase segreto molto tempo dopo la fine della guerra; alcuni sono stati pubblicati solo quest'anno - 60 anni dopo che è stato scritto.

6

Non calcola

Cosa non conoscibile: ci sono numeri che non possono essere calcolati.

Questa è un'altra bending della mente dimostrata da Alan Turing. Per cominciare, c'è più di un "infinito". Per esempio quanti numeri positivi e interi ci sono? Perché, ci sono l'infinito - non si fermano mai. Quanti numeri positivi e pari ci sono? Lo stesso - se raddoppi un numero intero positivo, ottieni un numero pari corrispondente, quindi deve esserci lo stesso numero.

Ok, quanti numeri reali ci sono? I numeri reali includono tutte le frazioni, numeri irrazionali (come pi) e numeri interi (positivi o negativi). Bene, ci sono molto più di quanti ce ne siano di interi - tra ogni numero intero, ci sono un numero infinito di numeri reali; quindi il numero di numeri reali è un infinito molto più grande del numero di numeri interi.

Con questo concetto saldamente in atto; puoi ragionare così:

Supponiamo di iniziare a scrivere programmi per computer per generare numeri reali, uno per ciascun numero reale.

Conti ogni programma; il primo è "1", il secondo, "2" e così via - mentre stai contando, usi i numeri interi positivi.

Il problema è che sebbene tu sia felice di scrivere un numero infinito di programmi, quell'infinito è molto più piccolo del numero infinito di numeri reali, quindi ci devono essere molti (in effetti, la maggior parte) mancanti di numeri reali - che non possono essere calcolato.

5

Vero o falso?

Cosa non conoscibile: in matematica, ci sono cose vere che non possono essere dimostrate vere - e non sappiamo cosa siano.

Questo teorema che fa male al cervello è stato sviluppato da Kurt Gödel. Il concetto risale al 1900, quando David Gilbert propose 23 "problemi" in matematica che avrebbe voluto vedere risolto nel prossimo secolo. Un problema consisteva nel dimostrare che la matematica era coerente, il che sarebbe molto bello sapere. Tuttavia, nel 1901, Gödel lo fece saltare fuori dall'acqua con il suo teorema di incompletezza - non approfondirò il teorema in dettaglio qui, in parte perché non capisco tutti i dettagli, ma principalmente perché mi ci sono volute tre lezioni separate prima Ho persino pensato che stavo arrivando lì, quindi se sei interessato: Wikipedia è tuo amico!

In sintesi, il teorema mostra che non è possibile dimostrare la matematica in modo coerente usando solo la matematica (dovresti usare un "meta-linguaggio"). Inoltre, ha anche dimostrato che ci sono cose vere in matematica che non possono essere dimostrate vere.

Quando ho appreso il teorema, è stato suggerito che il famoso Teorema di Fermat potrebbe essere una "vera cosa che non può essere dimostrata vera", ma che è stata viziata come esempio quando Andrew Wiles lo ha dimostrato vero nel 1995. Tuttavia, qui sono un paio di cose che potrebbero essere vere, ma non dimostrabili:

"Non c'è nessun numero perfetto strano."

Un numero perfetto è un numero intero positivo i cui divisori si sommano a se stesso. Ad esempio, 6 è un numero perfetto - 1 + 2 + 3 = 1 * 2 * 3 = 6.

28 è il prossimo numero perfetto. I numeri perfetti si verificano raramente e fino ad ora sono stati trovati solo 41 numeri perfetti. Nessuno sa quanti ce ne sono - ma è tra il 41 e l'infinito!

Finora, tutti i numeri perfetti sono stati pari ma, ancora una volta, nessuno sa se c'è uno strano ancora da trovare, ma se ce n'è uno è un numero molto grande; più grande di 10 ^ 1500 - (1 con 1500 zeri dopo di esso).

"Ogni numero pari è la somma di due numeri primi."

Un numero primo è solo divisibile da solo o 1 ed è un fatto curioso che, finora, ogni numero pari che è stato testato è la somma di due di essi - per esempio: 8 = 5 + 3 o 82 = 51 + 31. Di nuovo , è noto per molti numeri (fino a circa 10 ^ 17) ed è anche noto che più alto è il numero, più è probabile che sia un numero primo, quindi sembra più probabile che più alto si ottiene, ma chi può dire che non c'è un numero davvero grande, là fuori, dove non è vero?

4

Cos'è la verità, amico?

Sempre nel mondo della provabilità, arriviamo al teorema di indefinibilità di Tarksi, ma per stuzzicare, ecco qualcosa sullo sfondo di Tarksi.

Era figlio di genitori ebrei nati nella Polonia prebellica e fu molto fortunato. Nacque Alfred Teitelbaum nel 1901. C'era un diffuso antisemitismo nella Polonia prebellica e nel 1923 Alfred e suo fratello cambiarono il loro cognome in "Tarski" - un nome che inventavano perché "suonava più polacco". Hanno anche cambiato la loro religione da ebreo a cattolico romano - anche se Alfred era in realtà un ateo.

Alla fine degli anni '30, Tarski fece domanda per diverse cattedre in Polonia, ma fu rifiutato - fortunatamente, come risultò. Nel 1939 fu invitato a tenere una conferenza in America che probabilmente non avrebbe frequentato se avesse recentemente assunto una cattedra.Tarski catturò l'ultima nave per lasciare la Polonia prima dell'invasione tedesca il mese successivo. Non pensava che stesse "scappando" dalla Polonia - ha lasciato i suoi figli dietro pensando che sarebbe tornato presto. I suoi figli sopravvissero alla guerra e furono riuniti nel 1946, anche se la maggior parte della sua famiglia allargata fu uccisa dagli occupanti tedeschi.

Tornando al teorema: Tarski ha dimostrato che la verità aritmetica non può essere definita in aritmetica. Lo ha anche esteso a qualsiasi sistema formale; "Verità" per quel sistema non può essere definito all'interno del sistema.

È possibile definire la verità per un sistema in un sistema più forte; ma naturalmente, non puoi definire la verità in quel sistema più forte, dovresti passare a un sistema ancora più forte - e così via, a cercare indefinitamente la verità irraggiungibile.

3

Particelle Particelle

Cosa Inconoscibile: dov'è quella particella e quanto velocemente sta andando?

Lasciamo il mondo della matematica che fa male al cervello, ma purtroppo entriamo nel mondo ancora più sconvolgente della fisica quantistica. Il principio di indeterminazione sorse quando studiavo particelle subatomiche e cambiava il modo in cui osserviamo l'universo. Quando ero a scuola, ci veniva insegnato che un atomo era come un mini sistema solare con un nucleo simile al sole nel mezzo con gli elettroni in orbita, e gli elettroni erano come piccole biglie.

È così sbagliato - e una delle scoperte chiave lungo la strada per dimostrare che era il principio di indeterminazione di Heisenberg. Werner Heisenberg era un fisico teorico tedesco che lavorò a stretto contatto con il fisico danese Niels Bohr negli anni '20. Il ragionamento di Heisenberg è così:

Come faccio a sapere dove si trova una particella? Devo guardarlo, e per guardarlo devo illuminarlo. Per illuminarlo, devo sparare fotoni contro di esso, quando un fotone colpisce la particella, la particella viene mossa dai fotoni - quindi provando a misurare la sua posizione, cambio la sua posizione.

Tecnicamente, il principio dice che non puoi conoscere simultaneamente la posizione e la quantità di moto di una particella. Questo è simile, ma non è lo stesso dell'effetto "osservatore" nella sperimentazione in cui ci sono alcuni esperimenti i cui risultati cambiano a seconda di come vengono osservati. Il principio di indeterminazione è su basi matematiche molto più solide e, come ho detto, ha cambiato il modo in cui l'universo è visto (o come l'universo del piccolo è visto). Gli elettroni ora sono pensati come funzioni di probabilità piuttosto che come particelle; possiamo calcolare dove sono probabilmente, ma non dove sono - potrebbero effettivamente essere ovunque.

Il principio di indeterminazione era piuttosto controverso quando fu annunciato; Einstein notoriamente disse che "Dio non gioca a dadi con l'universo", ed è stato in questo periodo che la divisione in fisica che separava la meccanica quantistica - che studia la fisica molto piccola e macro che studia gli oggetti più grandi e le forze iniziate. Quella divisione deve ancora essere risolta.

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La costante di Chaitin

La costante di Chaitin è un esempio di ciò che sembra normale e ragionevole per un matematico, ma che suona pazzesco al resto di noi. La costante di Chaitin è la probabilità che un programma informatico casuale si fermi. Ciò che fa impazzire (in realtà, una di poche cose), è che c'è una costante diversa per ogni programma, quindi c'è un numero infinito di valori per questa "costante" - che di solito è indicata come un omega greco (Ω) . L'altra cosa un po 'folle a riguardo è che non è possibile determinare quale sia l'Ω - è un numero non commutabile, il che è un vero peccato - se potessimo calcolare Ω, allora è stato dimostrato che la maggior parte dei problemi non provati in matematica potrebbe effettivamente essere dimostrata ( o confutato).

1

Sconosciuti sconosciuti

Finora abbiamo descritto cose che sappiamo essere inconoscibili (se questo ha senso). Tuttavia, l'ultimo elemento descrive cose che potrebbero essere vere ma che non possono essere conosciute. Potresti pensare che farei fatica a trovare un esempio, ma considera quanto segue:

Viviamo in un universo in espansione; quando guardiamo le altre galassie ci stanno allontanando e accelerando. Ora, in un lontano futuro (circa 2 trilioni di anni da adesso) tutte le altre galassie saranno così lontane da non essere osservabili (tecnicamente, si muoveranno così velocemente che la luce sarà allungata in raggi gamma con lunghezze d'onda più lunghe dell'universo è ampia). Quindi, se tu fossi un astronomo in 2 trilioni di anni, non ci sarebbe modo di sapere che c'erano miliardi di altre galassie nell'universo - e se qualcuno lo avesse suggerito, riderai sarcastico e dirai "fammi vedere le prove; non hai niente."

Quindi, tenendo presente questo, torna ai giorni nostri - potrebbero esserci delle vere cose sull'universo che non potremo mai sapere. Sorso!

+

Noioso…

Cosa inconoscibile: ci sono persone poco interessanti?

È abbastanza facile sostenere che non ci sono persone non interessanti:

Considera di fare una lista di persone poco interessanti; una di queste persone sarà la più giovane - e la persona più giovane e poco interessante è, di per sé, interessante - quindi dovrebbero essere rimosse dalla lista. Ora c'è una nuova persona più giovane e poco interessante, che può anche essere rimossa dalla lista, e così via - finché la lista non sarà vuota. Quindi, se incontri qualcuno che pensi non sia interessante, devi aver sbagliato.