10 divertenti esempi di teoria dei numeri ricreativi

Ai matematici piace classificare e organizzare i numeri in tutti i modi. I numeri naturali sono usati per contare e ordinare; i numeri nominali vengono utilizzati per la denominazione (come il numero di patente di guida); gli interi sono numeri che possono essere espressi senza una frazione o un decimale; i numeri primi possono essere divisi solo per 1 e da soli; e così via. Ma non c'è limite a come possiamo capire e usare i numeri; di conseguenza, c'è una branca della matematica pura, basata principalmente sullo studio degli interi, chiamata "teoria dei numeri". Anche se ora comprendiamo che la teoria dei numeri ha applicazioni, usi e scopi illimitati, può apparire frivola al punto di inutilità - specialmente il sottogruppo noto come "teoria dei numeri ricreativi". Il teorico dei numeri Leonard Dickson una volta disse, dopo tutto, "Grazie a Dio, la teoria dei numeri non è celata da nessuna applicazione".

Ma questo non significa che non fornisce una misura di divertimento nerd per coloro che sono così inclini. Continua a leggere per scoprire cosa rende un numero "interessante", "strano", "felice", "narcisistico", "perfetto" e molto altro!

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Numeri amichevoli

Ah, numeri amichevoli. Si amano così tanto. Quanto? Bene, prendiamo una coppia classica 284 e 220 e vediamo quanto sono amichevoli. Prendiamo tutti i divisori appropriati di 220 (vale a dire, tutti i suoi divisori che non lasciano resto, incluso il numero 1 ed escludendo il numero stesso) e tutti:

1 + 2 + 4 + 5 + 10 + 11 + 20 + 22 + 44 + 55 + 110 = 284

Ora, prendiamo 284 e facciamo la stessa cosa:

1 + 2 + 4 +71 + 142 = 220.

Voila: una coppia di numeri amichevoli. Altre coppie includono (1184, 1210), (2620, 2924) e (5020, 5564). Questo tipo di numero è stato scoperto e studiato dai Pitagorici ed è stato oggetto di molte ricerche nel corso dei secoli: Fermat, Descartes, l'iraniano Muhammad Baqir Yazdi e l'iracheno Th? Bit ibn Qurra sono tra i molti matematici che hanno approfondito il mondo dei numeri amichevoli. Gli argomenti di ulteriori studi includono tentativi di scoprire se c'è una quantità infinita di coppie, di discernere schemi e di capire meglio perché e come ciò accade.

Poiché i matematici non si accontenterebbero mai di semplici numeri amichevoli, i "numeri fidanzati" sono coppie in cui la somma dei divisori appropriati di ciascun numero è uguale all'altro numero +1.

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numero omirp

"Emirp" è la parola "primo" scritta all'indietro, e si riferisce a un numero primo che diventa un nuovo numero primo quando si invertono le sue cifre. Gli emirpidi non includono numeri primi palindromici (come 151 o 787), né numeri primi di 1 cifra come 7. I primi pochi sono 13, 17, 31, 37, 71, 73, 79, 97, 107, 113, 149 e 157 - invertirli e hai un nuovo numero primo tra le mani.

Per lo più, dire "emirp" più e più volte è una specie di esplosione. Dagli un vortice!

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Numeri interessanti

C'è un antico paradosso nel mondo della matematica che è noto come il "paradosso dei numeri interessanti". In parole povere, se continui a contare i numeri naturali, alla fine ne incontrerai uno che non è interessante; dove diventa paradossale è che, in virtù del fatto di essere il più piccolo numero non interessante, quel numero è ora diventato interessante.

Naturalmente, questo è tutto soggettivo, poiché si basa su una vaga definizione della parola "interessante". In generale, un numero è considerato interessante se ha un qualche tipo di qualità matematica che lo distingue; 19 è interessante perché è primo, 999 è interessante perché è un palindromo (e la versione inglese del 911); 24 è interessante perché (tra gli altri motivi) è il più grande numero divisibile da tutti i numeri meno della sua radice quadrata. matematici

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Numeri potenti

Achille era un potente eroe di guerra di Troia che era estremamente potente ma aveva un solo difetto: il suo tallone d'Achille. Come lui, i numeri di Achille sono potenti ma non perfetti.

Quindi, iniziamo con un numero potente. Un numero è considerato potente se tutti i suoi fattori primi rimangono fattori una volta che sono al quadrato. 25 è un numero potente perché il suo primo fattore, 5, rimane un fattore una volta che è stato quadrato (25, che va in 25 una volta). Ora passiamo ai poteri perfetti, numero che può essere espresso come un potere intero di un altro intero; 8 è un potere perfetto, in quanto è a 2 cubi.

Così ora, tornando alla premessa originale, i numeri di Achille sono potenti, ma non sono poteri perfetti. 72 è il primo numero di Achille, poiché è potente, ma non è un perfetto primo. Altri includono 108, 200, 288, 392, 432, 500 e 648.

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Numeri strani

Quali sono i numeri strani? Per capirli, dobbiamo prima iniziare con numeri "abbondanti". I numeri abbondanti, noti anche come "eccessivi", sono più grandi della somma dei loro divisori appropriati. 12, ad esempio, è il primo (il più piccolo) numero abbondante - la somma dei suoi divisori appropriati, 1 + 2 + 3 + 4 + 6, è 16. 12, quindi, ha una "abbondanza" di 4, la quantità con cui la somma dei suoi divisori supera il numero. Ci sono molti numeri anche abbondanti, ma non arriviamo a uno strano fino al numero 945.

Alcuni numeri abbondanti sono "semiperfect" o "pseudoperfect", il che significa che sono uguali a tutti o solo ad alcuni dei loro divisori appropriati. 12 è un numero abbondante imperfetto perché alcuni dei suoi divisori possono essere aggiunti insieme per formare 12.

Alla fine arriviamo a numeri strani. Un numero è strano se è abbondante ma NON semiperfetto; in altre parole, la somma dei suoi divisori è maggiore del numero stesso, ma nessun sottoinsieme delle somme dei divisori è uguale al numero. I numeri strani sono rari: i primi sono 70, 836, 4.030 e 5.830.

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Numeri intoccabili

Mentre i numeri strani non sono uguali alla somma di nessuno dei loro divisori, i numeri intoccabili fanno un ulteriore passo in avanti. Perché un numero sia intoccabile, non deve essere uguale alla somma dei divisori appropriati di QUALSIASI numero. Alcuni intoccabili sono 2, 5, 52 e 88; infatti, si pensa che 5 sia l'unico numero dispari e non tangibile esistente (sebbene non sia stato formalmente provato). C'è un numero infinito di numeri intoccabili, il che significa che non esiste una cosa come la più grande.

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Numeri perfetti

Quindi, dopo aver discusso lo strano e l'intoccabile, è tempo di controllare con il nonno di tutti i numeri relativi ai divisori: numeri perfetti. Un numero perfetto è uno che è esattamente uguale alla somma dei suoi divisori (di nuovo, escludendo se stesso). Il primo numero perfetto è 6, come i suoi divisori (1, 2, 3) tutti fino a 6. Sei è seguito da 28, 496 e 8.128. I primi matematici greci conoscevano solo questi primi 4 numeri perfetti; Nichomatus scoprì 8.128 per l'anno 100 d.C. Altri tre furono scoperti, il primo circa 1456 (33.550.336) da un matematico sconosciuto, e nel 1588 (8.589.869.056 e 137.438.691.328) dal matematico italiano Pietro Cataldi nel 1588.

Tutti i numeri perfetti conosciuti sono pari; non è ancora noto se esista un primo strano o sia addirittura possibile. Il matematico inglese James Joseph Sylvester scrisse: "... una meditazione prolungata sull'argomento mi ha soddisfatto che l'esistenza di uno qualsiasi di questi [numeri dispari perfetti], per esempio, sfugge alla complessa rete di condizioni che la circondano da tutte le parti -Sarà poco un miracolo. "

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Numeri felici

Alcuni numeri sono strani; gli altri sono felici Se desideri scoprire se un dato numero è felice, dovrai eseguire il seguente insieme di operazioni. Prendiamo il numero 44:

Per prima cosa, piazza ogni cifra, quindi aggiungili insieme:

4^2 + 4^2 = 16 + 16 = 32

Quindi, lo faremo di nuovo con il nostro nuovo numero:

3^2 + 2^2 = 9 + 4 = 13

E di nuovo:

1^2 + 3^2 = 1 + 9 = 10

E infine:

1^2 + 0^2 = 1 + 0 = 1

Ecco! È un numero felice. Ogni volta che prendi un numero, esegui questa "procedura" e alla fine arrivi al numero 1, hai un numero felice. Se il tuo numero non raggiunge mai 1, quindi purtroppo, è infelice. È interessante notare che il numero felice è estremamente comune; ce ne sono 11 tra 1 e 50, per esempio.

Come nota finale, il più grande numero felice senza cifre ricorrenti è 986.543.210. Questo è davvero un numero felice.

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Numeri narcisistici

I numeri narcisistici, noti anche come numeri Armstrong o "invarianti digitali piuperfetti", sono numeri che - ascoltate da vicino - sono uguali alla somma di ciascuna delle sue cifre quando queste cifre sono innalzate alla potenza del AMOUNT di cifre nel numero.

Ok. Che cosa? Facciamo un esempio dei quattro cubi narcisistici esistenti:

153 = 1^3 + 5^3 + 3^3
370 = 3^3 + 7^3 + 0^3
371 = 3^3 + 7^3 + 1^3
407 = 4^3 + 0^3 + 7^3

In questi casi, ogni cifra è cubata perché nel numero ci sono tre cifre. Quindi, quei numeri a cubetti vengono sommati per produrre una somma uguale al numero originale. Non ci sono numeri narcisistici a 1 cifra, né numeri a 12 o 13 cifre; le due 39 cifre sono:

115132219018763992565095597973971522400 e 115132219018763992565095597973971522401.

Il matematico inglese GH Hardy riconobbe la frivolezza di tali numeri proclamando nel suo libro "L'Apologia del matematico" che "Questi sono fatti bizzarri, molto adatti alle colonne del puzzle e che probabilmente divertono i dilettanti, ma non c'è nulla in essi che faccia appello al matematico. ”

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Repdigits e repunits

Un repdigit è un numero naturale con una cifra ricorrente; il nome, infatti, deriva dal termine "cifra ripetuta". La più famosa redigit è il cosiddetto "Beast Number" 666, un simbolo comune dell'anticristo o di Satana. Una repunit, quindi, è un repdigit che usa solo il numero 1; i repunits si pop-up di frequente in codice binario e sono correlati a quello più famoso di primi, Mersenne Primes. È stato congetturato che esiste un numero infinito di numeri primi di repunità, quindi se vuoi provare a dimostrarlo, ti preghiamo di farlo a tuo piacimento.